Что значит т в матрице
Транспонирование (Transpose) · Loginom Wiki
Транспонирование — в линейной алгебре это операция над матрицами в результате которой матрица поворачивается относительно своей главной диагонали. При этом столбцы исходной матрицы становятся строками результирующей. Операция транспонирования обозначается символом «T», указываемом после обозначения матрицы в верхнем регистре, например AT. Очевидно, что если исходная матрица A имела размер m×n, то транспонированная матрица AT будет размером n×m. Матрица-строка в результате транспонирования преобразуется в матрицу-столбец и наоборот. Несложно увидеть, что ATij=Aji. Например [1234]T=[1324] ⎡⎢⎣123456⎤⎥⎦T=[135246] Таким образом, для получения транспонированной матрицы достаточно каждую строку исходной матрицы записать в виде столбца результирующей, соблюдая порядок следования элементов. В линейной алгебре операция транспонирование является промежуточным действием, которое делает удобнее выполнение более сложных матричных преобразования, обладающие собственной логикой. В анализе данных операция транспонирования применяется к таблицам с данными, в результате чего столбцы таблицы становятся строками, а строки — столбцами. Такое преобразование обычно преследует две цели:
Например, исходная таблица может иметь вид:
Тогда результатом транспонирования будет таблица вида:
Несложно увидеть, что результат транспонирования для таблиц несколько отличается от результатов транспонирования матрицы. Это связано с тем, что между таблицей данных и матрицей в алгебре строгое соответствие вообще говоря, отсутствует: таблица, в отличие от матрицы, не математический объект, а средство визуализации. Поэтому для таблицы результаты транспонирования можно определить так: данные, изначально отображавшиеся в столбцах, будут отображаться в строках, и наоборот. При этом столбцы, где содержатся, скажем, идентификаторы записей или даты, вообще могут не менять своего положения (что в случае транспонирования в алгебре совершенно некорректно). Кроме этого транспонирование является одной из операций, используемых в оперативной аналитической обработке данных для настройки наиболее удобного представления в OLAP-кубах. |
Основные сведения о матрицах
В этом разделе мы даем основные сведения о матрицах, необходимые для понимания статистики и анализа данных.
Матрицей размера m x n (читается m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,….
Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: aij, где i - номер строки, j - номер столбца.
Например, матрица:
В сокращенной записи обозначаем A=(aij); i=1,2,…m; j=1,2,…,n
Приведем пример матрицы 2 на 2:
Вы видите, что a11 = 1, a12 = 0, a21 = 2, a22=5
Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:
Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, aij= bijдля любых i=1,2,…m; j=1,2,…n
Виды матриц
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой, а из одного столбца - матрицей (вектором)- столбцом:
A=(a11,a12,…,a1n) - матрица - строка
B=
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Например,
Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11, a22,…,ann.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Операции над матрицами
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые - специфические.
1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число называется матрица B=A, элементы которой bij=aij для i=1,2,…m; j=1,2,…n
Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.
2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой cij=aij+bijдля i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.
е. матрицы складываются поэлементно).
3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.
4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц Am∙B kназывается такая матрица Cm, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
λ (A+B)= λA+ λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ (AB)=( λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:
a) Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.
b) Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
5. Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:
Из определения следует, что если матрица А имеет размер m, то транспонированная матрица А' имеет размер n
В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, АТ
Связанные определения:
Вырожденная матрица
Обобщенная обратная матрица
Обратная матрица
Плохо обусловленная матрица
Псевдообратная матрица
Эрмитова матрица
Эрмитово-сопряженная матрица
В начало
Содержание портала
Транспонирование матрицы — значение, свойства, примеры
Транспонирование матрицы — один из наиболее распространенных методов преобразования матриц в матричных понятиях в линейной алгебре.
Транспонирование матрицы получается путем замены строк на столбцы и столбцов на строки для данной матрицы. Это особенно полезно в приложениях, где необходимо получить обратные и сопряженные матрицы.
В этой статье давайте узнаем о транспонировании матрицы, ее определении, свойствах и решенных примерах.
| 1. | Что такое транспонирование матрицы? |
| 2. | Порядок транспонирования матрицы |
| 3. | Транспонирование квадратной матрицы |
| 4. | Свойства транспонирования матрицы |
| 5. | Транспонирование горизонтальной и вертикальной матрицы |
| 6. | Транспонирование симметричной матрицы |
| 7. | Транспонирование диагональной матрицы |
| 8. | Транспонирование транспонированной матрицы |
9. | Определитель транспонирования матрицы |
| 10. | Связь между сопряженной и транспонированной матрицей |
| 11. | Часто задаваемые вопросы о транспонировании матрицы |
Что такое транспонирование матрицы?
Транспонирование матрицы получается путем преобразования ее строк в столбцы (или, что то же самое, ее столбцов в строки). Прямоугольный массив чисел или функций, расположенных в виде строк и столбцов, называется матрицей. Этот массив чисел называется элементами или элементами матрицы.
Здесь для матрицы A элементы первой строки записаны в первый столбец новой матрицы, а элементы второй строки записаны во второй столбец новой матрицы. И эта новая матрица обозначается как A T , который представляет собой транспонирование данной матрицы A.
Транспонирование символа матрицы
В линейной алгебре транспонирование матрицы на самом деле является оператором, который переворачивает матрицу по диагонали, переключая строку и столбец индексы матрицы B и создание другой матрицы.
Транспонирование матрицы B часто обозначается как B' или B T . Иногда они также обозначаются как B tr или Б т . Если матрица B имеет порядок m×n, то транспонированная матрица B’ имеет порядок n×m.
Порядок транспонирования матрицы
Порядок матрицы представляет количество строк и столбцов в данной матрице. Все горизонтальные линии элементов называются строками матрицы, обозначаемой буквой n, а вертикальные линии элементов называются столбцами матрицы, обозначаемой буквой m. Вместе они представляют порядок матрицы, который записывается как n × м. А -й порядок транспонирования данной матрицы записывается как m x n.
Давайте проверим приведенный ниже пример, чтобы лучше понять, как найти транспонирование матрицы.
A = \(\left[\begin{массив}{ll}
-2&5&6\
5 и 2 и 7
\end{array}\right]\)
В приведенном выше примере мы видим, что задана матрица порядка 2 × 3.
Элементы первой строки [-2, 5, 6] записаны в первом столбце , а элементы второй строки [5, 2, 7] записываются во второй столбец, чтобы получить транспонированную матрицу. Транспонирование матрицы A равно A T и имеет порядок 3 x 2.
A T = \(\left[\begin{array}{ll}
-2 и 5\
5 и 2 \\6 и 7
\конец{массив}\справа]\)
Транспонирование квадратной матрицы
Матрица, полученная из данной матрицы B после замены или обращения ее строк в столбцы и столбцов в строки, называется транспонированием матрицы B. Рассмотрим транспонирование квадратных матриц 2 × 2 и 3 × 3.
Транспонирование матрицы 2 × 2
Рассмотрим матрицу 2 × 2 C, после перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица C T выглядит так:
Таким же образом мы можем найти транспонирование матрицы A как:
\(A=\left[\begin{array}{ll}
1&-2\
3 и -4
\end{array}\right]\)
После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица A T выглядит так:
A T = \(\left[\begin{array}{ll}
1 и 3 \
-2 и -4
\end{array}\right]\)
Транспонирование матрицы 3 × 3
Рассмотрим матрицу 3 × 3 C:
\(C = \left[\begin{array}{ccc}
c_{11} и c_{12} и c_{13} \\
c_{21} и c_{22} и c_{23} \\
c_{31} и c_{32} и c_{33}
\end{array}\right] \)
После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица C T выглядит так:
C T = \(\left[\begin{array}{ccc}
c_{11} и c_{21} и c_{31} \\
c_{12} и c_{22} и c_{32} \\
c_{13} и c_{23} и c_{33}
\end{array}\right] \)
Таким же образом мы можем найти транспонирование матрицы A как:
\(A = \left[\begin{array}{ccc}
1&2&-3\
4&-5&6\
7 и 8 и -9
\end{массив}\right] \)
После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица A T выглядит так:
A T = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 и 4 и 7 \
2&-5&8\
-3 и 6 и -9
\конец{массив}\справа] \)
Свойства транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы используется в некоторых линейных преобразованиях, поскольку они раскрывают некоторые важные свойства преобразования.
Давайте узнаем о некоторых важных свойствах транспонирования матрицы:
- Квадратная матрица B порядка n × n считается ортогональной матрицей только тогда, когда B T × B = B × B T = I, здесь I — единичная матрица.
- Квадратная матрица B порядка n × n считается симметричной матрицей, если ее транспонирование равно самой себе. т. е. В Т = В.
- Квадратная матрица B порядка n × n считается кососимметричной матрицей только тогда, когда ее транспонирование равно ее отрицательному значению. т. е. В Т = -Б.
- Транспонирование суммы/разности (B ± C) T есть сумма/разность транспонирования матриц B и C, т. е. B T ± C T = (B ± C) T .
- Транспонирование обратимой матрицы B также обратимо, и его инверсия на самом деле является транспонированием обратной исходной матрицы B. Это можно представить как: (B T ) -1 = (B -1 ) Т .
- Транспонирование при применении к матрице имеет более высокий приоритет, чем операции умножения и сложения, т. е.
CB T = C(B T ) и
С + Д Т = С + (Д Т )
Свойство сложения транспонирования матрицы
Рассмотрим две матрицы B и C, транспонирование суммы (B + C) T является суммой транспонирования матриц B и C. Это можно представить как ( Б + В) Т = Б Т + С Т . Рассмотрим пример:
B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 и 3\
1 и 0
\end{массив}\right]\)
C = \(\left[\begin{массив}{ll}
4&-2\
3 и 5
\end{массив}\right]\)
B + C = \(\left[\begin{массив}{ll}
(2+4) & (3-2) \\
(1+3) и (0+5)
\end{массив}\right]\) = \(\left[\begin{массив}{ll}
6 и 1 \
4 и 5
\end{массив}\right]\)
(B+C) T = \(\left[\begin{array}{ll}
6 и 4\
1 и 5
\end{array}\right]\)
Теперь возьмем транспонирование матриц отдельно,
B T = \(\left[\begin{array}{ll}
2 и 1 \
3 и 0
\end{массив}\right]\)
C T = \(\left[\begin{array}{ll}
4 и 3 \
-2 и 5
\end{массив}\right]\)
B T + C T =\(\left[\begin{array}{ll}
(2+4) & (1+3) \\
(3-2) и (0+5)
\end{массив}\right]\) = \(\left[\begin{массив}{ll}
6 и 4 \
1 и 5
\end{массив}\right]\)
B T + C T = \(\left[\begin{array}{ll}
6 и 4 \
1 и 5
\end{array}\right]\)
Из приведенного выше примера видно, что сумма остается одинаковой в обоих случаях.
Таким образом, операция транспонирования учитывает сложение.
Транспонирование горизонтальной и вертикальной матрицы
Матрица считается горизонтальной, если количество строк в матрице меньше количества столбцов в этой матрице. И матрица считается вертикальной, когда количество столбцов в матрице меньше, чем количество строк в этой матрице. Рассмотрим горизонтальную матрицу P и вертикальную матрицу Q как:
P = \(\left[\begin{array}{ll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6
\end{массив}\right]\)
P T = \(\left[\begin{массив}{ccc}
1 и 4 \
2 и 5 \
3 и 6
\end{массив}\right] \)
Q = \(\left[\begin{массив}{ccc}
1 и 4 \
2 и 5 \
3 и 6
\end{массив}\right] \)
Q T = \(\left[\begin{array}{ll}
1 и 2 и 3 \\
4 и 5 и 6
\end{array}\right]\)
Из приведенных выше двух примеров мы можем видеть, что транспонирование горизонтальной матрицы P приводит к вертикальной матрице P T , а транспонирование вертикальной матрицы Q дает горизонтальную матрицу Q T .
Транспонирование симметричной матрицы
Квадратная матрица порядка n × n считается симметричной тогда и только тогда, когда она симметрична относительно своей диагонали. Квадратная матрица C размера n x n считается симметричной тогда и только тогда, когда C T = C. Рассмотрим две заданные симметричные матрицы A и B:
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2&-1\
-1 и 2
\end{массив}\right]\)
A T = \(\left[\begin{array}{ll}
2&-1\
-1 и 2
\end{массив}\right]\)
B = \(\left[\begin{массив}{ccc}
2 и 3 и 6 \
3 и 4 и 5 \
6 и 5 и 9
\end{массив}\right] \)
B T = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 и 3 и 6 \
3 и 4 и 5 \
6 и 5 и 9
\end{array}\right] \)
Из приведенного выше примера видно, что после транспонирования двух матриц A и B они равны своим исходным матрицам, т. Е. A = A T и B = В Т .
Транспонирование диагональной матрицы
Квадратная матрица порядка n × n считается диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все ее элементы, кроме диагональных, равны нулю. Рассмотрим две заданные диагональные матрицы C и D:
C = \(\left[\begin{массив}{ll}
5&0\
0 и -5
\end{массив}\right]\)
C T = \(\left[\begin{array}{ll}
5&0\
0 и -5
\end{массив}\right]\)
D = \(\left[\begin{массив}{ccc}
1&0&0\
0 & 2 & 0 \
0 и 0 и 3
\end{массив}\right] \)
D T = \(\left[\begin{array}{ccc}
1&0&0\
0 & 2 & 0 \
0 и 0 и 3
\end{array}\right] \)
Из приведенных выше двух примеров видно, что две диагональные матрицы C и D остаются диагональными матрицами даже после применения транспонирования.
Транспонирование транспонированной матрицы
Транспонирование транспонированной матрицы само по себе.
т. е. для любой матрицы B (B T ) T = B. Рассмотрим здесь два примера:
C = \(\left[\begin{array}{ll}
1&-2\
3 и -4
\end{массив}\right]\)
C T = \(\left[\begin{array}{ll}
1 и 3 \
-2 и -4
\end{массив}\right]\)
(C T ) T = \(\left[\begin{array}{ll}
1&-2\
3 и -4
\end{массив}\right]\)
D = \(\left[\begin{массив}{ccc}
1&2&-3\
4&-5&6\
7 и 8 и -9
\end{массив}\right] \)
D T = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 и 4 и 7 \
2&-5&8\
-3 и 6 и -9
\end{массив}\right] \)
(D T ) T = \(\left[\begin{array}{ccc}
1&2&-3\
4&-5&6\
7 и 8 и -9
\end{array}\right] \)
Из приведенных выше двух примеров видно, что транспонирование уже транспонированной матрицы дает исходную матрицу.
Определитель транспонирования матрицы
Определитель транспонированной матрицы A равен определителю самой матрицы A.
т. е. det A = det A T для любой квадратной матрицы A. Для получения дополнительной информации вы можете нажать здесь.
Связь между сопряженной и транспонированной матрицей
Сопряженная квадратная матрица B является транспонированной кофакторной матрицей C исходной B. Связь между сопряженной исходной матрицей B и транспонированной кофакторной матрицей C может быть представлена как adj(B) = ( В) Т . Рассмотрим этот пример:
Рассмотрим матрицу 2×2 D:
D = \(\left[\begin{array}{ll}
3 и 6 \
-4 и 8
\end{array}\right]\)
Младшая матрица M может быть представлена как:
\(M=\left[\begin{array}{ll}
8&-4\
6 и 3
\end{array}\right]\)
Матрица кофакторов C может быть представлена как:
\(C=\left[\begin{array}{ll}
8 и 4 \
-6 и 3
\end{array}\right]\)
Транспонирование C T матрицы кофакторов может быть показано как:
adj(D) = C T = \(\left[\begin{array {ll}
8&-6\
4 и 3
\end{array}\right]\)
Важные замечания по транспонированию матрицы:
- Транспонирование матрицы на самом деле является оператором, который переворачивает матрицу по ее диагонали, меняя местами индексы строк и столбцов матрицы B.
и изготовление другой матрицы. - Транспонирование матрицы B часто обозначается либо B', либо B T . Иногда их также обозначают как B tr или B t .
- Если матрица B имеет порядок m x n, то транспонированная матрица B’ имеет порядок n x m.
☛ Статьи по теме:
- Калькулятор матриц
- Формула матрицы
- Калькулятор диагональной матрицы
- Калькулятор матрицы транспонирования
Часто задаваемые вопросы о транспонировании матрицы
Что означает транспонирование матрицы?
Транспонирование матрицы — это матрица, полученная после замены или преобразования ее строк в столбцы (или столбцов в строки). Транспонирование B обозначается как B T .
Как найти транспонирование матрицы?
Транспонирование любой заданной матрицы можно вычислить, поменяв местами ее строки и столбцы. Рассмотрим матрицу 2 × 2 B:
\(A=\left[\begin{массив}{ll}
1&-2\
3 и 7
\end{array}\right]\)
После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица C T выглядит так:
A T = \(\left[\begin{array}{ ll}
1 и 3 \
-2 и 7
\end{array}\right]\)
Что такое свойство сложения при транспонировании матрицы?
Согласно аддитивному свойству транспонирования матрицы, для двух матриц B и C транспонирование суммы (B + C) T представляет собой сумму транспонирований матриц B и C.
Это можно представить как (B + C) T = B T +C T .
Что такое свойство умножения транспонирования матрицы?
Согласно свойству умножения транспонирования матрицы, транспонирование при применении к матрице имеет более высокий приоритет, чем операции умножения и сложения, т. е. CB T = C(B T ) и C + D T = С + (Д Т )
Каковы различные свойства транспонирования матрицы?
Вот различные свойства транспонирования матрицы:
- Квадратная матрица B порядка n × n считается ортогональной матрицей, только когда B × B T = I, здесь I тождество матрица.
- Квадратная матрица B порядка n × n считается кососимметричной матрицей только тогда, когда она транспонирована B T = -B, т. е. равна своей отрицательной.
- Транспонирование разности (B - C) T - это разность транспонирования матриц B и C. B T - C T = (B - C) T
- Транспонирование обратимой матрицы B также обратимо, а ее инверсия B -1 на самом деле является транспонированием обратной исходной матрицы B.
Это можно представить как: (B T ) -1 = (Б -1 ) Т . - Транспонирование при применении к матрице имеет более высокий приоритет, чем операции умножения и сложения, т. е. CB T = C(B T ) и C + D T = C + (D T )
Что является определителем транспонирования матрицы?
Определитель транспонированной квадратной матрицы порядка n×n равен определителю матрицы, т.е. |B T | = |В|.
Что такое транспонирование квадратной матрицы?
Для любой квадратной матрицы порядка n×n транспонирование применяется к матрице следующим образом. Рассмотрим матрицу 2 × 2 C:
\(C=\left[\begin{массив}{ll}
с_{11} и с_{12} \\
c_{21} и c_{22}
\end{array}\right]\)
После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица C T выглядит так:
C T = \(\left[\begin{array}{ ll}
с_{11} и с_{21} \\
c_{12} и c_{22}
\end{array}\right]\)
Как найти обратную матрицу методом транспонирования?
Вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы вычислить обратную матрицу D с помощью метода транспонирования:
- Найдите определитель |D|.
Если |Д| = 0, то обратное не существует. Только если |D| ≠ 0, существует обратное. - Найдите минорную матрицу M всех элементов матрицы D
- Найдите матрицу кофакторов C всех минорных элементов матрицы M
- Найдите прил D путем транспонирования матрицы кофакторов C 9п а_ {я, я} \end{уравнение*}
Теорема 3.5.6. Следы \(AB\) и \(BA\) равны.
Если \(AB\) и \(BA\) квадраты, то \(\tr (AB)=\tr (BA)\)
Доказательство.
Предположим, что \(A\) равно \(m\times n\), а \(B\) равно \(n\times m\) (помните, что тогда \(AB\) является определенным и квадратным). Чтобы оценить как \(\tr (AB)\), так и \(\tr (BA)\text{,}\), мы рассмотрим следующий прямоугольный массив чисел:
\begin{уравнение*} \begin{матрица} \amp\amp\amp\amp\amp\text{Суммы строк}\\ a_{1,1}b_{1,1}\amp a_{1,2}b_{2,1}\amp a_{1,3}b_{3,1}\amp\cdots\amp a_{1,n}b_{n,1} \amp\gets (AB)_{1,1}\\ a_{2,1}b_{1,2}\amp a_{2,2}b_{2,2}\amp a_{2,3}b_{3,2}\amp\cdots\amp a_{2,n}b_{n,2} \amp\gets(AB)_{2,2}\\ \vdots\amp\vdots\amp\vdots\amp\amp\vdots\amp\vdots\\ a_{m,1}b_{1,m}\amp a_{m,2}b_{2,m}\amp a_{m,3}b_{3,m}\amp\cdots\amp a_{m,n}b_{n,m} \amp\gets (AB)_{m,m}\\ \\ \uparrow\amp\uparrow\amp\uparrow\amp\amp\uparrow\\ \llap{\text{Суммы по столбцам:}\quad} (BA)_{1,1}\amp(BA)_{2,2}\amp(BA)_{3,3}\amp\amp(BA)_{n,n} \end{матрица} \end{уравнение*}
Мы собираемся вычислить сумму всех элементов этого массива двумя способами.
Сделав это, два ответа будут равны.
Сначала мы находим сумму всех элементов массива путем сложения построчно. Обратите внимание, что сумма элементов в первой строке равна \((AB)_{1,1}\text{,}\), а сумма элементов во второй строке равна \((AB)_{2,2} \text{,}\) и так далее, пока сумма элементов в последней строке не станет \((AB)_{m,m}\text{.}\) Следовательно, сумма всех элементов в массиве равно \((AB)_{1,1}+(AB)_{2,2}+\cdots+(AB)_{m,m}=\tr (AB)\text{.}\)
Теперь добавляем по столбцам. Обратите внимание, что сумма первого столбца равна
.\начать{выровнять*} a_{1,1}b_{1,1}\amp +a_{2,1}b_{1,2}+\cdots+a_{m,1}b_{1,m}\\ \amp = b_{1,1}a_{1,1}+b_{2,1}a_{1,2}+\cdots+b_{m,1}a_{1,m}\\ \амп =(ВА)_{1,1}, \конец{выравнивание*}
сумма второго столбца равна \((BA)_{2,2}\) и так далее, пока сумма последнего столбца не будет равна \((BA)_{n,n}\text{.}\)Следовательно, сумма все элементы массива равны \((BA)_{1,1}+(BA)_{2,2}+\cdots+(BA)_{n,n}=\tr (BA)\text{ .}\) Приравнивание двух оценок дает \(\tr (AB)=\tr (BA)\text{.
Видео-курс
