Изображение графика функции

Построение и решение графиков Функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

 

1. Найти область определения функции.


2. Найти область допустимых значений функции.


3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.


4. Проверить не является ли функция периодической.


5. Найти нули функции.


6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.


7. Найти асимптоты графика функции.


8. Найти производную функции.


9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.


10. На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

 

1. 
   


2. 
   


3. 
   

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

 

1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

   Координата вершины




2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

   Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.




3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

   Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

а) y = 3x - 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x - 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x - 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

б)

Преобразование в одно действие типа f(x - a).

y = √x

Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x - 1

в) y = (x - 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x - a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x - 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x - 1)² + 2

г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Построение графика с помощью элементарных преобразований.

Построение графика функции y=f(kx) с помощью элементарных преобразований графика функции y=f(x) (A=1; B=0; b=0)

Рассмотрим сначала два частных случая при b=0,т.е. функция имеет вид y=f(kx) .

1. При |k|>1 график функции y=f(x) сжимается в |k| раз вдоль оси OX относительно оси OY.

2. При |k|<1 график функции y=f(x) растягивается в раз вдоль оси OX относительно оси OY . При k<0 полученный график дополнительно отображаем симметрично относительно оси OY.

Рассмотрим примеры:

Построить график функции	Построить график функции

Построение графика функции y=f(x+b) с помощью элементарных преобразований графика функции y=f(x) (A=1; B=0; k=1)

При b>0 график функции y=f(x) сдвигается влево вдоль оси OX на b единиц.

При b<0 график функции y=f(x) сдвигается вправо вдоль оси OX на |b| единиц

Рассмотрим примеры:

Построить график функции ( b>0 )	Построить график функции ( b<0 )

Построение графика функции y=f(kx+b) с помощью элементарных преобразований графика функции y=f(x) (A=1; B=0)

Рассмотрим общий случай : y=f(kx+b) .

Сначала вынесем коэффициент k за скобку: .
Именно число определяет сдвиг вдоль оси OX , а не b , как полагают некоторые абитуриенты.

Теперь строим график функции y=f(x) . Затем строим график функции y=f(kx) , после чего сдвигаем полученный график вдоль оси OX на единиц влево или вправо в зависимости от знака этого числа.

Рассмотрим пример: построить график функции

Построение графика функции y=A·f(kx+b)+B с помощью элементарных преобразоаний графика функции y=f(x)

Комбинируя методы построения графиков, рассмотренные в предыдущих случаях, можно по известному графику функции y=f(x) построить график функции y=A·f(kx+b)+B с помощью растяжений, сжатий по горизонтали и вертикали, параллельных переносов вдоль осей координат, а также симметрий относительно координатных осей тех графиков, которые получаются из первоначального графика последовательно применением подходящего преобразования.

Рассмотрим примеры.

Построить график функции	Построить график функции

Пострение графиков

Фундаментальная задача программирования — вычисление математических и, в частности, алгебраических функций. Казалось бы, что проще? Однако, запись выражения на языке математики не принимается напрямую языком программирования. Выражение нужно написать в виде, который будет понятен тому или иному языку программирования.

Например, y = x², должно быть записано как y = x*x или y = x**2.

Упражнение №1

Запишите выражение, заданное формулой, в виде, подходящем для языка Python.

и найдите его значения в точках 1, 10, 1000.

Для вычисления математических функций мы не будем использовать стандартную библиотеку math. Т.к. она не работает с векторами. В нашем случае разумней обратить внимание на библиотеку numpy. Данная библиотека обеспечивает удобную работу с векторам.

Т.е., если у нас есть вектор x=[1, 2, 3, 4] и мы вызовим numpy.log(x), то логарифм будет взят от каждого элемента списка и возвращен будет список значений.

Аналогичная функция в модуля math ожидает число, т.е. нельзя сделать math.log(x), нужно делать math.log(x[0]) и т.д.

Традиционно библиотека numpy подключается командой:

Данный вызов сообщает, что подключить numpy под псевдонимом np. Это делается, чтобы не писать каждый раз:

А писать:

Такой код, с более коротким именем библиотеки, элементарно, проще читать.

Основные математические функции и константы функии, которые нам понадобятся из numpy:

Функция библиотеки math	Математическая функция
np.pi	Число pi
np.e	Число e
np.cos	Косинус
np.sin	Синус
np.tan	Тангенс
np.acos	Арккосинус
np.asin	Арксинус
np.atan	Арктангенс
np.exp	Экспонента
np.log	Логарифм

Функция log вычисляет натуральный логарифм. Чтобы вычислить логарифм по другому основанию, нужно воспользоваться формулой перехода. Например, если мы хотим получить логарифм x по основанию 2, нужно написать:

matplotlib - набор дополнительных модулей (библиотек) языка Python. Предоставляет средства для построения самых разнообразных 2D графиков и диаграмм данных. Отличается простотой использования — для построения весьма сложных и красочно оформленных диаграмм достаточно нескольких строк кода. При этом качество получаемых изображений более чем достаточно для их публикования. Также позволяет сохранять результаты в различных форматах, например Postscript, и, соответственно, вставлять изображения в документы TeX. Предоставляет API для встраивания своих графических объектов в приложения пользователя.

Пример построения графика функции:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) plt.plot(x, x**2) plt.show() 

На одном рисунке можно построить несколько графиков функций:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x) plt.show() 

Также довольно просто на график добавить служебную информацию и отобразить сетку:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x) plt.xlabel(r'$x$') plt.ylabel(r'$f(x)$') plt.title(r'$f_1(x)=\sin(x),\ f_2(x)=\cos(x),\ f_3(x)=-x$') plt.grid(True) plt.show() 

Или используя legend(), где можно указать место расположения подписей к кривым на графике в параметре loc. Подписи могут быть явно переданы legend((line1, line2, line3), ('label1', 'label2', 'label3')) или могут быть переданы в аргумет label, как в примере ниже. Чтобы сохранить график нужно воспользоваться savefig(figure_name), где figure_name явлется строкой назания файла с указанием расширения. Для текстовых полей можно изменять шрифт (fontsize), для большей читаемости графика, а его размер указывается с помощью figure(figsize=(10, 5)).

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) plt.figure(figsize=(10, 5)) plt.plot(x, np.sin(x), label=r'$f_1(x)=\sin(x)$') plt.plot(x, np.cos(x), label=r'$f_2(x)=\cos(x)$') plt.plot(x, -x, label=r'$f_3(x)=-x$') plt.xlabel(r'$x$', fontsize=14) plt.ylabel(r'$f(x)$', fontsize=14) plt.grid(True) plt.legend(loc='best', fontsize=12) plt.savefig('figure_with_legend.png') plt.show() 

Текстовые поля в matplotlib могут содержать разметку LaTeX, заключенную в знаки $. Буква r перед кавычками говорит python, что символ "\" следует оставить как есть и не интерпретировать как начало спецсимвола (например, перевода строки - "\n").

Работа с matplotlib основана на использовании графических окон и осей (оси позволяют задать некоторую графическую область). Все построения применяются к текущим осям. Это позволяет изображать несколько графиков в одном графическом окне. По умолчанию создаётся одно графическое окно figure(1) и одна графическая область subplot(111) в этом окне. Команда subplot позволяет разбить графическое окно на несколько областей. Она имеет три параметра: nr, nc, np. Параметры nr и nc определяют количество строк и столбцов на которые разбивается графическая область, параметр np определяет номер текущей области (np принимает значения от 1 до nr*nc). Если nr*nc<10, то передавать параметры nr, nc, np можно без использования запятой. Например, допустимы формы subplot(2,2,1) и subplot(221).

 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(-10, 10.01, 0.01) t = np.arange(-10, 11, 1) #subplot 1 sp = plt.subplot(221) plt.plot(x, np.sin(x)) plt.title(r'$\sin(x)$') plt.grid(True) #subplot 2 sp = plt.subplot(222) plt.plot(x, np.cos(x), 'g') plt.axis('equal') plt.grid(True) plt.title(r'$\cos(x)$') #subplot 3 sp = plt.subplot(223) plt.plot(x, x**2, t, t**2, 'ro') plt.title(r'$x^2$') #subplot 4 sp = plt.subplot(224) plt.plot(x, x) sp.spines['left'].set_position('center') sp.spines['bottom'].set_position('center') plt.title(r'$x$') plt.show() 

График может быть построен в полярной системе координат, для этого при создании subplot необходимо указать параметр polar=True:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.subplot(111, polar=True) phi = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) rho = 2*phi plt.plot(phi, rho, lw=2) plt.show() 

Или может быть задан в параметрической форме (для этого не требуется никаких дополнительных действий, поскольку два массива, которые передаются в функцию plot воспринимаются просто как списки координат точек, из которых состоит график):

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) r = 4 plt.plot(r*np.sin(t), r*np.cos(t), lw=3) plt.axis('equal') plt.show() 

График функции двух переменных может быть построен, например, так:

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np ax = axes3d.Axes3D(plt.figure()) i = np.arange(-1, 1, 0.01) X, Y = np.meshgrid(i, i) Z = X**2 - Y**2 ax.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10) plt.show() 

Добавление текста на график: Команду text() можно использовать для добавления текста в произвольном месте (по умолчанию координаты задаются в координатах активных осей), а команды xlabel(), ylabel() и title() служат соответственно для подписи оси абсцисс, оси ординат и всего графика. Для более полной информации смотрите «Text introduction» раздел на оф. сайте.

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt mu, sigma = 100, 15 x = mu + sigma * np.random.randn(10000) # the histogram of the data n, bins, patches = plt.hist(x, 50, density=True, facecolor='g', alpha=0.75) plt.xlabel('Smarts') plt.ylabel('Probability') plt.title('Histogram of IQ') plt.text(60, .030, r'$\mu=100,\ \sigma=15$') plt.text(50, .033, r'$\varphi_{\mu,\sigma^2}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \,e^{ -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sigma} \varphi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right),\quad x\in\mathbb{R}$', fontsize=20, color='red') plt.axis([40, 160, 0, 0.04]) plt.grid(True) plt.show() 

plot() — универсальная команда и в неё можно передавать произвольное количество аргументов. Например, для того, чтобы отобразить y в зависимости от x, можно выполнить команду:

import matplotlib.pyplot as plt plt.plot([1, 2, 3, 4], [1, 4, 9, 16]) plt.show() 

Каждую последовательность можно отобразить своим типом точек:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # равномерно распределённые значения от 0 до 5, с шагом 0.2 t = np.arange(0., 5., 0.2) # красные чёрточки, синие квадраты и зелёные треугольники plt.plot(t, t, 'r--', t, t**2, 'bs', t, t**3, 'g^') plt.show() 

Также в matplotlib существует возможность строить круговые диаграммы:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt data = [33, 25, 20, 12, 10] plt.figure(num=1, figsize=(6, 6)) plt.axes(aspect=1) plt.title('Plot 3', size=14) plt.pie(data, labels=('Group 1', 'Group 2', 'Group 3', 'Group 4', 'Group 5')) plt.show() 

И аналогичным образом столбчатые диаграммы:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt objects = ('A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F') y_pos = np.arange(len(objects)) performance = [10,8,6,4,2,1] plt.bar(y_pos, performance, align='center', alpha=0.5) plt.xticks(y_pos, objects) plt.ylabel('Value') plt.title('Bar title') plt.show() 

Цветовые карты используются, если нужно указать в какие цвета должны окрашиваться участки трёхмерной поверхности в зависимости от значения Z в этой области. Цветовую карту можно задать самому, а можно воспользоваться готовой. Рассмотрим использование цветовой карты на примере графика функции z(x,y)=sin(x)*sin(y)/(x*y).

import pylab from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib import cm import numpy def makeData(): x = numpy.arange(-10, 10, 0.1) y = numpy.arange(-10, 10, 0.1) xgrid, ygrid = numpy.meshgrid(x, y) zgrid = numpy.sin(xgrid)*numpy.sin(ygrid)/(xgrid*ygrid) return xgrid, ygrid, zgrid x, y, z = makeData() fig = pylab.figure() axes = Axes3D(fig) axes.plot_surface(x, y, z, rstride=4, cstride=4, cmap=cm.jet) pylab.show() 

Альтернативой к использованию mpl_toolkits.mplot3d является библиотека plotly, которая позволяет интерактивно взаимодействовать с графиком, поворачивая его или увеличивая некоторую область в пространсте.

В Python есть встроенная функция eval(), которая выполняет строку с кодом и возвращает результат выполнения:

>>> eval("2 + 3*len('hello')") 17 >>> 

Это очень мощная, но и очень опасная инструкция, особенно если строки, которые вы передаёте в eval, получены не из доверенного источника. Если строкой, которую мы решим скормить eval(), окажется "os.system('rm -rf /')", то интерпретатор честно запустит процесс удаления всех данных с компьютера.

Упражнение №2

Постройте график функции

y(x) = x*x - x - 6

и по графику найдите найдите корни уравнения y(x) = 0. (Не нужно применять численных методов — просто приблизьте график к корням функции настолько, чтобы было удобно их найти.)

Упражнение №4

Используя функцию eval() постройте график функции, введённой с клавиатуры. Чтобы считать данные с клавиатуры, используйте функцию input(). Попробуйте включить эффект «рисование от руки» посредством вызова plt.xkcd(). Посольку эта функция применяет некоторый набор настроек, избавиться от которых впоследствие не так просто, удобнее использовать ее как "контекстный менеджер" - это позволяет применить настройки временно, только к определенному блоку кода. Для этого используется ключевое слово with:

with plt.xkcd(): plt.pie([70, 10, 10, 10], labels=('В комментариях', 'В Ираке', 'В Сирии', 'В Афганистане')) plt.title('Где ведутся самые ожесточенные бои') 

Отображение погрешностей

С помощью метода plt.errorbar можно рисовать точки с погрешностями измерений, как для лабораторных работ. Погрешности по осям абсцисс и ординат задаются в параметрах (соответственно) xerr и yerr.

import matplotlib.pyplot as plt x = [1, 2, 3, 4, 5] y = [0.99, 0.49, 0.35, 0.253, 0.18] plt.errorbar(x, y, xerr=0.05, yerr=0.1) plt.grid() plt.show() 

Альтернативой для plt.errorbar может слудить plt.fill_between, который заполняет область графика между кривыми, чтобы регулировать прозрачность используется аргумент alpha. Это число из отрезка [0, 1], на которое домножоается интенсивность цвета заполнения между кривыми.

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(0, 10, 0.01) plt.plot(x, x**2, label=r'$f = x^2$') plt.scatter(x, x**2 + np.random.randn(len(x))*x, s=0.3) plt.fill_between(x, 1.3*x**2, 0.7*x**2, alpha=0.3) plt.legend(loc='best') plt.savefig('figure_fill_between.png') plt.show() 

В уже использованном модуле numpy есть метод polyfit, позволяющий приближать данные методом наименьших квадратов. Он возвращает погрешности и коэффициенты полученного многочлена.

 x = [1, 2, 3, 4, 5, 6] y = [1, 1.42, 1.76, 2, 2.24, 2.5] p, v = np.polyfit(x, y, deg=1, cov=True) >>> p array([0.28517032, 0.80720757]) >>> v array([[0.00063242, -0.00221348], [-0.00221348, 0.00959173]]) 

Многочлен задается формулой p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg]

Для того, чтобы не выписывать каждый раз руками эту формулу для разных степеней, есть функция poly1d, которая возвращает функцию полинома, описанного точками p. Возвращенная функция может принимать на вход не только число, но и список значений, в таком случае, будет вычислено значение функции в каждой точке списка и возвращен список результатов.

p_f = np.poly1d(p) p_f(0.5) p_f([1, 2, 3]) 

Упражнение №5

Приблизить данные из приведённого примера с погрешностями или свои собственные (из лабораторного практикума по общей физике) многочленами первой и второй степени. Начертить точки с погрешностями и полученные аппроксимационные кривые на одном графике.

Построение графиков функций на Python. Pygame / Хабр

Привет, Хабр! Я хотел бы рассказать, как написать программу для построения графиков функций. Программу будем писать на Python с использованием библиотеки PyGame.

P.S. Программа простая и предназначена больше для учебных целей, чем для повседневного использования(хотя и с этим алгоритм может справится).

Основной алгоритм

Основной алгоритм заключается в вычислении функции на интервале: [-10,10]. Так как целых значений немного, то будем увеличивать параметр с малым шагом, к примеру 0.0001.

Функция имеет вид y = f(x). Формат ввода, соответственно, string(так как пользователь вводить функцию с использованием символов).

Получается следующий алгоритм:

Пишем код

Для начала следует импортировать библиотеки. Это библиотека PyGame, с её помощью будем рисовать. И библиотека math, она добавляет больше математических функций(sin, cos, sqrt и т.д.).

from math import * import pygame 

Теперь напишем несколько системных строк, которые создадут нам окно, в котором будет находится система координат.

pygame.init() # запустить pygame screen = pygame.display.set_mode((500,500)) # создать окно 500x500 pygame.display.set_caption("func_graph") # название окна all_sprites=pygame.sprite.Group() # группа спрайтов clock = pygame.time.Clock() running = True fps=60

Создадим класс, который будет рисовать координатные оси(ординат и абсцисс).

class Line(pygame.sprite.Sprite): def __init__(self,pos,x,y): pygame.sprite.Sprite.__init__(self) if pos=="x": # ось абсцисс self.image=pygame.Surface((3,400)) # линия 3x400 self.image.fill((0,0,0)) # закрасить черным цветом self.rect = self.image.get_rect() self.rect.centerx = x # центр по x self.rect.centery = y # центр по y elif pos=="y": # ось ординат self.image=pygame.Surface((400,3)) # линия 3x400 self.image.fill((0,0,0)) # закрасить черным цветом self.rect = self.image.get_rect() self.rect.centerx = x # центр по x self.rect.centery = y # центр по y

Теперь класс для точки, так как точек будет очень много, то график будет казаться сплошным.

class Dot(pygame.sprite.Sprite): def __init__(self,x,y): pygame.sprite.Sprite.__init__(self) self.image=pygame.surface.Surface((5,5)) # точка 5x5 self.image.fill((0,0,0)) # закрасить черным цветом self.rect=self.image.get_rect() self.rect.centerx=x # центр по x self.rect.centery=y # центр по y

Теперь приступим к основному алгоритму. Функцию считает модуль eval, а с ним нужно быть очень аккуратным в плане ввода(т.е. "x" желательно брать в скобки, чтобы модуль учитывал знак минус, степень - это два знака умножить(**), и т.д.). Конечно, можно сделать так, чтобы ввод пользователя преобразовывался в нормальный вид, это аналогично части с заменой "x" на значение(строка 6), но и тут есть свои проблемы.

def Calc(func): i=-10 # начальное значение аргумента while i<=10: # пока аргумент меньше 10 mass="" # темп-строка for j in func: # для каждого символа в строке func(наша функция) if j == "x": # если символ = x, то добавляем i в темп-строку mass+=str(i) else: # если нет, то добавить исходный символ mass+=j i+=0.0001 # увеличить аргумент на 0.0001 try: res1=eval(mass) # посчитать функцию и получить результат except: res1=10000 # если функцию нельзя посчитать, то результат число вне координат(знаю, костыль) dot=Dot(250+i*10,250-res1*10) # dot - точка с координатой(0+x,0+y), так как это дисплей, то вектор "y" направлен вниз all_sprites.add(dot) # добавить точку в группу спрайтов

Теперь заключительная часть кода.

func = str(input("y = ")) # ввод данных calc = Calc(func) # вызвать функцию Calc от func line = Line("y",250,250) # добавить ось ординат all_sprites.add(line) line1 = Line("x",250,250) # добавить ось абсцисс all_sprites.add(line1) while running: # основной цикл clock.tick(fps) for event in pygame.event.get(): if event.type == pygame.QUIT: # если закрыл окно - завершить программу running = False screen.fill((255,255,255)) # залить поле белым цветом all_sprites.draw(screen) # нарисовать все спрайты(т.е. наши точки) pygame.display.flip() pygame.quit()

Вот такой получился код:

from math import * import pygame pygame.init() screen = pygame.display.set_mode((500,500)) pygame.display.set_caption("func_graph") all_sprites=pygame.sprite.Group() clock = pygame.time.Clock() running = True fps=60 class Line(pygame.sprite.Sprite): def __init__(self,pos,x,y): pygame.sprite.Sprite.__init__(self) if pos=="x": self.image=pygame.Surface((3,400)) self.image.fill((0,0,0)) self.rect = self.image.get_rect() self.rect.centerx = x self.rect.centery = y elif pos=="y": self.image=pygame.Surface((400,3)) self.image.fill((0,0,0)) self.rect = self.image.get_rect() self.rect.centerx = x self.rect.centery = y class Dot(pygame.sprite.Sprite): def __init__(self,x,y): pygame.sprite.Sprite.__init__(self) self.image=pygame.surface.Surface((5,5)) self.image.fill((0,0,0)) self.rect=self.image.get_rect() self.rect.centerx=x self.rect.centery=y def Calc(func): i=-10 while i<=10: mass="" for j in func: if j == "x": mass+=str(i) else: mass+=j i+=0.0001 try: res1=eval(mass) except: res1=10000 dot=Dot(250+i*10,250-res1*10) all_sprites.add(dot) func = str(input("y = ")) calc = Calc(func) line = Line("y",250,250) all_sprites.add(line) line1 = Line("x",250,250) all_sprites.add(line1) while running: clock.tick(fps) for event in pygame.event.get(): if event.type == pygame.QUIT: running = False screen.fill((255,255,255)) all_sprites.draw(screen) pygame.display.flip() pygame.quit()

Итоги

В заключение можно сказать, что получилась простая программа, которая справляется со своими функциями, Ба-Дум-Тсс. Конечно, здесь есть свои проблемы(в основном - модуль eval), но главная задача статьи - понять, как компьютер строит графики.

P.S. Код ещё можно доработать. К примеру, я доработал программу до discord бота. Если будет интересно, то я могу написать об этом. Так как я заметил, что на Хабре есть только ознакомительные статьи про ботов.

Построение графиков функций в Excel

Построение графиков функций — одна из возможностей  Excel. В этой статье мы рассмотрим процесс построение графиков некоторых математических функций: линейной, квадратичной и обратной пропорциональности.

Функция, это множество точек (x, y), удовлетворяющее выражению y=f(x). Поэтому, нам необходимо заполнить массив таких точек, а Excel построит нам на их основе график функции.

1) Рассмотрим пример построения графика линейной функции: y=5x-2

Графиком линейной функции является прямая, которую можно построить по двум точкам. Создадим табличку

 

 

В нашем случае  y=5x-2. В ячейку с первым значением y введем формулу: =5*D4-2. В другую ячейку формулу можно ввести аналогично (изменив D4 на D5) или использовать маркер автозаполнения.

В итоге мы получим табличку:

 

 

Теперь можно приступать к созданию графика.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ (рекомендую использовать именно этот тип диаграммы)

 

 

Появиться пустая область диаграмм. Нажимаем кнопку ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ

 Выберем данные:  диапазон ячеек оси абсцисс (х) и оси ординат (у). В качестве имени ряда можем ввести саму функцию в кавычках «y=5x-2» или что-то другое. Вот что получилось:

Нажимаем ОК. Перед нами график линейной функции.

2) Рассмотрим процесс построения графика квадратичной функции — параболы y=2x²-2

Параболу по двум точкам уже не построить, в отличии от прямой.

Зададим интервал на оси x, на котором будет строиться наша парабола. Выберу [-5; 5].

Задам шаг. Чем меньше шаг, тем точнее будет построенный график. Выберу 0,2.

Заполняю столбец со значениями х, используя маркер автозаполнения  до значения х=5.

Столбец значений у рассчитывается по формуле: =2*B4^2-2. Используя маркер автозаполнения, рассчитываем значения у для остальных х.

Выбираем: ВСТАВКА — > ТОЧЕЧНАЯ -> ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ И МАРКЕРАМИ и действуем аналогично построению графика линейной функции.

Получим:

Чтобы не было точек на графике, поменяйте тип диаграммы на ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ.

Любые другие графики непрерывных функций строятся аналогично.

3) Если функция кусочная, то необходимо каждый «кусочек» графика объединить в одной области диаграмм.

Рассмотрим это на примере функции у=1/х.

Функция определена на интервалах (- беск;0) и (0; +беск)

Создадим график функции на интервалах: [-4;0) и (0; 4].

Подготовим две таблички, где х изменяется с шагом 0,2:

Находим значения функции от каждого аргумента х аналогично примерам выше.

На диаграмму вы должны добавить два ряда — для первой и второй таблички соответственно

Далее нажимаем кнопочку ДОБАВИТЬ и заполняем табличку ИЗМЕНЕНИЕ РЯДА  значениями из второй таблички

Получаем график функции y=1/x

В дополнение привожу видео — где показан порядок действий, описанный выше.

В следующей статье расскажу как создать 3-мерные графики в Excel.

Спасибо за внимание!

на Ваш сайт.

Преобразования графиков функций, МАТЕМАТИКА (Dr. Rockit)

Функциональный график преобразования

График функции до и после преобразования

Сдвиг по вектору (переводу) .

Сдвинем график функции f(x) на вектор u = [a, 0]
(a>0 - сдвиг на единицу вправо, а <0 - сдвиг на единицу влево)

Сдвиг по вектору (переводу) .

Сдвигаем график функции f(x) на вектор v = [0, b]
(b>0 - сдвиг на b единиц вверх, b <0 - сдвиг на b единиц вниз)

Осевая симметрия относительно оси 0X .

Отразим график функции f(x) симметрично относительно оси OX.

Осевая симметрия относительно оси 0Y .

Отразим график функции f(x) симметрично относительно оси OY.

Центр симметрии относительно точки (0,0) .

Отразим график функции f(x) симметрично относительно начала системы координат.

Симметрия по оси 0X отрицательных значений f(x) .

График представляет собой совокупность всех точек графика функции f с неотрицательной ординатой и изображений всех точек графика функции f с отрицательной ординатой симметрично относительно оси ОХ.

Симметрия относительно оси 0Y положительных аргументов функции f(x) .

График представляет собой совокупность всех точек графика с неотрицательной осью абсцисс (т.е. справа от оси Y) и изображения этих точек симметрично относительно оси OY.

Прямоугольная близость к оси OX и шкале s .

При k>1 растягиваем график k раз по оси Y,
при 0

Прямоугольное соединение с осью OY и шкалой s .

При k > 1 сжимаем граф k раз по оси X,
при 0

.

График трансформируется по симметрии относительно оси на x

Преобразуя график функции f по симметрии относительно оси Ох, получим график функции gx = -x 4 + 4 x 3.. Нарисуйте график функции g, являющийся образом функции е) при сдвиге на вектор [2,0], б) при сдвиге на вектор [0 , 1], в) при сдвиге на вектор [2,1], г) симметрично относительно оси ОХ, Это видео недоступен.. Формула функции f может быть записана как fx = 2 x + 3 = 2 x - (- 3 ).. Например, числом, противоположным 2, является -2. Если мы преобразуем точку P(x, y) по симметрии относительно оси OY, мы получим точку P'(x', y'), где x' = - xa y '= y. Если данную функцию преобразовать по симметрии относительно оси Y, то для любой точки P(x, y), принадлежащей графику функции y = f(x), после преобразования получим точка P'(x',y'), где x'=-xi y'=y=f(x)=f(-x'), Так график функции преобразуется по .4.11.. Функции, класс 1, МАТЕМАТИКА ЗПиР, Математика, Реформа школы 2017. Ось ОХ.. Проанализируйте примеры на странице 170.. Выполните упражнения 1 и 2 стр. 171. для людей с оранжевым учебником, задание-1i2-str-171.jpga) после преобразования графика функции f по осевой симметрии относительно OX б) после преобразования графика функции f по осевой симметрии относительно оси OY в) после преобразования графика функции f по центральной симметрии относительно точки O (0, 0) г) после перемещения график функции для параллельного вектора → u = [-1, 0]...

Преобразование графика по симметрии относительно оси OX, 4.

При построении графика функции на основе графика симметрично относительно оси зеркально отражаем этот график.График любой функции можно сдвигать по горизонтали и вертикали..Согласно вышеизложенному сдвигаем этот график вниз на три единицы.. Пожалуйста, решите задачу 4 стр. 171.. Этого достаточно, чтобы определить положение точки Изображение функции y = f(x) симметрично относительно оси OY x1 = -x и y1 = y отсюда x = -x1 iy = y1 подставив y = f(x) в формулу получим y1 = f(-x1) График функции y = f(-x) есть результат преобразования графика функции y = f (x) в силу осевой симметрии относительно оси OY.Каролина Зволиньска объяснит вам, когда можно будет говорить о том, что функция симметрична относительно оси абсцисс или ординаты. зеркально отображая график функции y=f(x) относительно оси О.. умножаем на -1.. Отмечаем несколько точек на графике функции и преобразуем их симметрично относительно оси ОХ..

Тема: Преобразование диаграммы в симметрию относительно оси OY.

Пример 1.. 4. Графики функций очень важны, поскольку они позволяют в простой графической форме представить важнейшие свойства функции: 1) Чтобы прочитать значение функции f при заданном аргументе x = a с графика, необходимо через точку на оси ОХ, отмеченную а (т.е. с координатами (а; 0)) провести вертикальную прямую до ее соприкосновения с графиком функции f, а затем из точки касания - горизонтальную. график функции на рисунке 1, мы должны нарисовать график функции, его проще всего записать в виде вектора переноса: Если мы хотим сдвинуть график влево или вниз, мы будем давать отрицательные числа по координатам вектора, например: Симметрия относительно оси 0X Мы имеем дело с ней, когда дан график функции f(x) и нам нужно построить график функции -f(x).. a Напишите формулу функции Весь график лежит над ось Ох, значит, точек общих с этой осью нет.. Преобразованные точки после соединения создают график функции, симметричный данной функции относительно оси ОХ Симметрия графика функции относительно оси ОХ и . .Преобразование графика функции .0X, имеет ту же координату "x", что и заданная точка, а координата "y" меняет знак на противоположный..

Преобразование графика по симметрии относительно оси системы координат, 4.

График функции с формулой f (x) = квадратный корень из x сначала был преобразован по центральной симметрии относительно точки O (0 ,0), а затем полученный график преобразовали по осевой симметрии относительно оси OX и получили график функции y = h (x) а) Напишите формулу функции h. б) Нарисуйте график функция h.5 .. Смотреть Очередь Очередь Преобразование графа симметриями относительно оси системы координат ... областью определения которой является множество действительных чисел.. f (x) симметрия графика относительно оси Oy 6.f (x) симметрия графика относительно оси Ox 7.f (jxj) замена левой части графика симметричным отражением относительно оси Oy его правой части 8.f (jxj) замена правой части графика симметричным отражением по оси Oy его левой части Если сделать оба указанных отражения одновременно, то получим симметрию относительно начало системы координат.1) Относительно оси ОХ с масштабом к. Проще всего растянуть или сжать график функции по оси ОХ с масштабом к. Общая формула: y = f (k * x) (наша шкала применима только к x) Значит, если наша шкала больше 1 (k > 1), то график будет сжиматься в k раз по оси OX. Пожалуйста, проверьте, правильно ли я выполнил это задание.. Преобразовав график функции f по симметрии относительно оси Оу, получим график функции hx = -x 4-4 x 3. Ось OX - анимация; Преобразование графика функции по симметрии относительно оси OY - анимация; Продолжить дальше Свернуть список материалов Материалы для учителя (0) Перейти: На dlanauczyciela.pl мы не нашли материалов по этой теме..

Анимация показывает преобразование графика функции к симметрии относительно оси OX.

Функции, 1 класс, МАТЕМАТИКА ЗП, Математика, Реформа 2017 Общеобразовательные школы, Ресурсы.График функции с формулой fx = \ sqrt {x} сначала был преобразован по центральной симметрии относительно точки O 0,0, а затем полученный график был преобразован по осевой симметрии относительно оси ОХ, получен график функции y = hx..

.

Classici Stranieri - бесплатная, юридическая и бесплатная мультимедийная библиотека. Всеобщее солнце! Мы не Либер, мы свободны.

517 всего просмотров, 2 просмотра сегодня

517 всего просмотров, 2 просмотра сегодня Статическая Википедия: Итальяно – Английский – Французский – Испанский – Тедеско – Португальский – Оландский – Полакко – Руссо – Турко – Шведский – […]

Continua a leggere

544 просмотров всего, 2 просмотра сегодня

Всего 544 просмотра, 2 просмотра сегодня Sono in linea le edizioni 2008 della Static Wikipedia (только текст, niente immagini) на африкаанс и суахили.Potete trovarle ai seguenti […]

Continua a leggere

Всего просмотров 1.401, сегодня 2 просмотра

1 401 общее количество просмотров, 2 просмотра сегодня Esprimiamo la nostra più Complete e Sentita Solidarietà Agli Amici del Project Gutenberg per l'oscuramento subito sul territorio italiano, su solutione [...]

Continua a leggere

395 всего просмотров

395 просмотров от: BBC News Фотография маяка Уайтфорд-Пойнт на полуострове Гауэр, сделанная Стивом Лиддиардом, была названа абсолютным победителем.

Continua a leggere

392 всего просмотров

392 просмотров от: BBC News Осман Кавала не был осужден, но его задержание поставило турецкого лидера на путь столкновения.

Continua a leggere

366 всего просмотров

366 всего просмотров Во время работы над сериалом о Битлз «Вернись» режиссер узнал о разочаровании ливерпульской четверки.

Continua a leggere

326 всего просмотров

326 всего просмотров Газеты, опубликованные в четверг, сообщают о гибели 27 человек, направлявшихся в Великобританию через Ла-Манш.

Continua a leggere

338 всего просмотров

338 всего просмотров Футболист сборной Англии станет одним из семи традиционных приглашенных редакторов в праздничный период.

Continua a leggere

358 всего просмотров

Всего просмотров: 358 Группа коллег призывает правительство отменить Закон о бродяжничестве, согласно которому грубый сон или [...]

являются уголовным преступлением. Continua a leggere

289 всего просмотров

289 всего просмотров Женщины на занятиях по крав-маге объясняют, почему в этом году они пошли на занятия по самообороне.

Continua a leggere

301 всего просмотров

301 просмотров Корреспондент Би-би-си Абдужалил Абдурасулов ​​посещает восточную Украину, где солдаты рассматривают военное присутствие России на границе поблизости.

Continua a leggere

350 всего просмотров, 2 просмотра сегодня

Всего 350 просмотров, 2 просмотра сегодня «Манчестер Сити» обыграл «Пари Сен-Жермен», и с Маурисио Почеттино, изо всех сил пытающимся навязать свой стиль, разговоры о «Манчестер Юнайтед» не пойдут […]

Continua a leggere

345 всего просмотров, 2 просмотра сегодня

Всего 345 просмотров, 2 просмотра сегодня от: BBC News Велосипедные заводы Португалии были очень заняты с апреля 2020 года, поскольку популярность велоспорта резко возросла.

Continua a leggere

311 всего просмотров, 2 просмотра сегодня

311 просмотров всего, 2 просмотра сегодня Финал Кубка Дэвиса готов перенести в Абу-Даби по пятилетнему соглашению, которое должно быть подтверждено […]

Continua a leggere

311 всего просмотров, 2 просмотра сегодня

Всего просмотров 311, сегодня просмотров 2 Десятилетия обедов Дэвида Р. Чана в 8000 китайских закусочных помогли ему узнать об Америке и о себе самом.из: BBC News

Continua a leggere

Всего просмотров 317, сегодня 6 просмотров

317 всего просмотров, 6 просмотров за сегодня Разминочный матч внутри сборной Англии Ashes в Брисбене прерван без подачи мяча в последний день из-за дождя. [...]

Continua a leggere

393 просмотра всего, 2 просмотра сегодня

393 всего просмотров, 2 просмотра сегодня Ахмад Арбери погиб в результате «современного линчевания» — местные жители говорят, что призрак расизма присутствует всегда.из: BBC News

Continua a leggere 90 104 Всего просмотров 298, сегодня 6 просмотров

Всего 298 просмотров, 6 просмотров сегодня «Реал Мадрид» выходит в плей-офф Лиги чемпионов 25-й год подряд, одержав комфортную победу над тираспольским «Шерифом». от: […]

Continua a leggere 90 110 330 всего просмотров, 2 просмотра сегодня

330 всего просмотров, 2 просмотра сегодня Энергетическая компания, имеющая 1,7 миллиона клиентов, была переведена на особую форму управления.

Continua a leggere 90 116 334 всего просмотров, 2 просмотра сегодня

Всего 334 просмотра, сегодня 2 просмотра. Английскому футболу нужен независимый регулятор, чтобы остановить его «шатание от кризиса к кризису», — говорит председатель фанатского обзора […]

Continua a leggere

Всего просмотров 123 994, сегодня 15 просмотров

Всего 123 994 просмотра, 15 просмотров сегодня от: BBC News «Манчестер Сити» выходит в 1/8 финала Лиги чемпионов как победитель группы, выходя сзади […]

Continua a leggere .

График линейной функции

График линейной функции представляет собой прямую линию .
Чтобы нарисовать график линейной функции, достаточно найти две точки, принадлежащие ей.

Постройте график линейной функции \ (y = x + 3 \).

Вычисляем координаты любых двух точек, через которые проходит наша прямая.

Для \ (x = 0 \) имеем: \ [y = 0 + 3 = 3 \] Итак, на графике функции есть точка с координатами \ ((0,3) \).

Для \ (x = 1 \) имеем: \ [y = 1 + 3 = 4 \] Итак, на графике функции есть точка с координатами \ ((1,4) \).Теперь мы можем отметить точки в системе координат и провести линию:

Начертить график линейной функции \ (y = 2x-1 \).

Вычисляем координаты любых двух точек, через которые проходит наша прямая.

Для \ (x = 0 \) имеем: \ [y = 2 \ cdot 0-1 = 0-1 = -1 \] Итак, график функции включает точку с координатами \ ((0, -1) \ ).

Для \ (x = 1 \) имеем: \ [y = 2 \ cdot 1-1 = 2-1 = 1 \] Итак, на графике функции есть точка с координатами \ ((1,1) \). Теперь мы можем отметить точки на графике и провести линию:

Нарисуйте график линейной функции \ (y = - \ frac {1} {3} x-2 \).

Вычисляем координаты любых двух точек, через которые проходит наша прямая.

Для \ (x = 0 \) имеем: \ [y = - \ frac {1} {3} \ cdot 0-2 = 0-2 = -2 \] Итак, график функции включает точку с координатами \ ((0,-2)\).

Для \ (x = 3 \) имеем: \ [y = - \ frac {1} {3} \ cdot 3-2 = -1-2 = -3 \] Итак, график функции включает точку с координатами \ (( 3, -3) \). Теперь мы можем отметить точки в системе координат и провести прямую линию: В этом видео я показываю практический метод быстрого построения точных графиков линейных функций.

Время записи: 13 мин.

Когда линейная функция возрастает, а когда убывает?

Возьмем линейную функцию: \[y=ax+b\]

где:
\(a\) - наклон,
\(b\) - отрезок.

Тогда:

• если \(a\gt 0\), то линейная функция возрастающая,
• если \(a\lt 0\), то линейная функция убывающая,
• если \(a = 0\ ), то линейная функция постоянна.

При этом точка пересечения \(b\) является точкой пересечения линейной функции с осью \(Oy\).На рисунке выше прямая восходящая, то есть \(a\gt 0\).

Положение нуля

Положение нуля линейной функции можно вычислить, приравняв формулу функции к нулю: \ [ax + b = 0 \] Приведенное выше уравнение дает формулу: \ [x = - \ frac {b} {a } \]

Простая параллель и перпендикуляр

Две линии с уравнениями \ [\ begin {split} & y = a_1x + b_1 \\ [6pt] & y = a_2x + b_2 \ end {split} \]

• равны параллельно , если их коэффициенты наклона равны , то есть: \ [a_1 = a_2 \]
• являются перпендикулярными , если их коэффициенты направления удовлетворяют соотношению: \ [a_1 \ cdot a_2 = -1 \]

Для большего количества материалов о параллельных и перпендикулярных прямых см. главу: Параллельные прямые и перпендикулярные..

Преобразование графика квадратичной функции - przedlekcje.pl

Для упрощения внешнего вида отключите соответствующие графики в флажках внизу листа.Анимация показывает сдвиг графика функции на 3 единицы по оси ОХ.Сдвиг графика квадратичной функции;(x1 и x2), точки пересечения с осями Ox и OY, координаты вершины функции.2 .. квадратичная функция .. Формула нашей функции, преобразованной смещением, будет выглядеть так: f (x) = (xp) + q .. Первым шагом является определение точки, которая является вершиной параболы.График любой функции можно перемещать по горизонтали и вертикали.Следует помнить, что перед тем, как начать вычисление точек, следует определить область определения функции, так как мы можем вычислить точки, не принадлежащие области определения, то их следует отбросить.. Формула: .. OX.Сборник задач: Курс: общие, канонические и формулы произведения квадратичной функции..

Определим преобразование формулы квадратичной функции.

Отражение графика относительно оси х,оси у.Графики симметричные относительно начала системы координат.2 - точки пересечения графика с осью OY,рассчитываем подставляя х ноль и вычисляя y или f(x), результатом является точка \((0 ; f(0))\).. Системы уравнений степени 2.. График представляет собой множество всех точек графика функции fo от неотрицательная ордината и изображения всех точек графика функции fo отрицательной ординаты симметрично относительно оси ОХ.Графики функций очень важны, поскольку позволяют графически представить важнейшие свойства функции: 1) Чтобы прочитать значение функции f при заданном аргументе x = a с графика, нужно использовать точку на ОХ ось, отмеченную а (т. е. с координатами (а; 0) ), проводят вертикальную прямую до ее соприкосновения с графиком функции f, а затем от точки касания с горизонталью. Если преобразовать данную функцию по симметрии относительно оси X, то для любой точки P(x, y), принадлежащей графику функции y = f(x), после преобразования получим точку P'(x', y'), где x' = x и y'=-y=-f(x)=-f(x'), Значит, график функции, преобразованной по симметрии относительно оси X, будет иметь формулу y=-f(x).. 2) Установите второй флажок f_2(x) = f(wx).. В этом видео я обсуждаю общую, каноническую и произведение квадратичной функции..

Преобразование графика функции.

Сообщений: 3 • Страница 1 из 1.. Где при p > 0 график смещается вправо, а p0 влево.Прежде чем читать дальше, вспомните информацию из раздела Преобразование графика функции.. Глядя при определении канонической формы мы приходим к нескольким выводам: 1.. Значения, на которые мы перемещаем график в каждом из этих двух направлений, проще всего записать в виде вектора смещения: Если мы хотим сместить график влево или вниз, мы задаем отрицательные числа по координатам вектора, например: Формулу квадратичной функции лучше всего записывать в одном из трех видов: общем, каноническом или произведении.. R1Lg3ZJ1VGsGj 1Перенос — параллельный сдвиг графика функции на вектор u = [p, q], где p отвечает за перемещение графика по горизонтали и q по вертикали.. Давайте публиковать решения математических задач и математические тесты.В октябре 2018 года я начал свой проект AjkaMat.pl, задача которого помочь вам изучить математику.Поэтому я должен предложить вам онлайн-курс преобразования графиков функций, благодаря которому вы освоите этот отдел от азов до эксперта и отлично подготовитесь к базовому экзамену.. Примеры, задачи и решения на MatFiz24.pl - проверьте!Преобразование графиков тригонометрических функций..

Графики преобразования функций.

Вопросы о.. Совместный анализ и обсуждение задач.. Сообщений пользователей: 45 Присоединился: 21 дек 2006, 14:26 Пол: MaleWord задачи, приводящие к квадратным уравнениям; .. Преобразование графиков функций (2) Приложение V. Возьмем в качестве примера функцию, которая выглядит так: .. Наклон a равен 1 .. Введите формулу функции в текстовое поле и наблюдайте за операции преобразований и на нем.. Калькулятор также определяет общий вид, канонический, произведение, интервалы монотонности (убывающие и возрастающие функции).Викторина Преобразование графиков функций гр Б. Содержание задач по математике, 9015_2453 Сервис для рисования графиков функций онлайн с автоматическим подбором значений оси У, возможностью сохранить график, распечатать его, поделиться через социальные сети, и т. д. Фильм учит преобразовывать графики функций.Модуль функции (y=|f(x)|) на практике основан на отражении отрицательной части графика относительно оси х, положительной части остается неизменной Функция имеет плечи, направленные вверх (поскольку а > 0).Преобразования графиков функций относительно оси х, оси у и начала системы координат..

Пример 1. График квадратичной функции.

Выберите несколько точек на диаграмме и переместите их на 3 единицы вправо или влево.. Единственный такой обширный портал в Польше, который помогает учащимся средних и старших классов изучать математику.. Групповая работа - решение задач.. Пример 1.: Модуль преобразования аргумента (f(|x|)) состоит в замене графика при x<0 (левая часть графика) отражением относительно оси y графика при x>0 ( правая часть графика), часть для x≥0 остается неизменной.Визуализация задачи операции элементарных преобразований в различные функции.. - Материалы по математике - Математические упражнения и тесты.. Упражнения: С помощью Excel начертите графики следующих функций/двух задач.. Напоминание информации о преобразовании графиков функций и зарисовка графика квадратичной функции.. Обеспечение темы и задач урока.. Автор: .. На ползунке можно изменить значение коэффициента А.. См. Vieta Designs!. Благодаря этому умению можно быстро и легко самостоятельно рисовать даже самые сложные графики.Чтобы нарисовать график квадратичной функции, нам нужно найти не менее трех точек, принадлежащих этому графику.. На какие свойства функции f влияет значение коэффициента A?. (рисование графика) Рассмотрим функцию = (-) + .. Так как множество значений функции g есть интервал 1, +∞, то можно также провести прямую с уравнением y = 1, которое является асимптотой графика функции g. Его обычно рисуют штриховой линией..

.

Перемещение графика функции по оси Y от Marta Stasiowska on Genially

3

Перемещение графика по вертикали

тема:

2

1

4

Quiz

Объяснение темы

2

2

3

Диаграмма чертежа Формулы

написание формул

4

5

6

5

Самооценка

6

Конец

End

конец

9

цель урока

1

цель урока

- уметь рисовать график со смещением вверх или вниз, т.е. по оси у - уметь писать формулу функции после сдвига - уметь чтобы прочитать сдвиг из формулы

Чтобы начать тест на симметрию

joinmyquiz.com

+ info

Перемещение графика по вертикали

Перемещение графика — это еще одно преобразование графика функции по симметриям. График не изменит форму, а только изменит свое положение в системе координат. В начале двигаемся вертикально, т.е. вверх или вниз.

розовая диаграмма сдвинулась на единицу вверх. Его изображение представляет собой синюю диаграмму.

после

+ инфо

+ инфо

Это график функции f(x), нарисуйте его в тетради.Мы собираемся переместить его на 2 единицы вниз, как это сделать? - Каждую точку графика (или на самом деле достаточно нескольких) перемещаем на 2 единицы вниз, а затем проводим через эти точки линию такой же формы

Создана новая функция g(x)

после

+ info

+ info

Это график функции f(x), нарисуйте его в тетради. Мы собираемся переместить его на 2 единицы вниз, как это сделать? - Каждую точку графика (или на самом деле достаточно нескольких) перемещаем на 2 единицы вниз, а затем проводим через эти точки линию такой же формы

Создана новая функция g(x)

Графики рисования - фиолетовые рамки для четных чисел и синяя для нечетных

функциональная схема f (x) переместиться на 1 единицу вверх

функциональная схема f (x) переместиться на 1 единицу вниз

функциональная схема f (x) переместиться вверх на 3 единицы

функция f диаграмма (x) сдвинуться на 4 единицы вниз

результаты отправить по фото - если возникнут проблемы пишите

+ инфо

Вывод формулы

Как выглядит формула функции после сдвига?Проверим как координаты точек меняются.На графике функции f(x) есть точки (розовые). Перемещаем график вверх на две единицы и считываем координаты небесных точек. Как меняются координаты точек после перемещения?

Новая функциональная модель?

(-6.1)

(1.3)

(4.3)

(-4, -3)

(-6.3)

(-4, -1)

(1.5)

(1.5)

(-6.3)

просто добавим 2g(x) = f(x) + 2

Координаты второго возрастания от двух

+ инфо

Вывод формулы

На графике функции f(x) даны точки ( розовый).Сдвигаем график вниз на единицу и считываем координаты синих точек. Как меняются координаты точек после перемещения?

Новая функциональная модель?

(-6,1)

(1,3)

(4,3)

(-4, -3)

просто вычесть 1g (x) = f (x) -1

(- 6,0)

3-90 4, -4)

(1.2)

(4.2)

Вторая координата уменьшается на единицу

Если мы сдвинем функцию f (x) вверх на q единиц, то формула функции будет g (x) = f ( x) + q Если мы переместим oq единиц вниз, формула функции z будет g (x) = f (x) -q

Запомнить!

f (x) = 2x-4

+ info

после перемещения на три единицы вверх формула функции будет:..................................................

Запись формул функций после смены

+ info

после сдвига на три единицы вниз формула функции будет такой: ....................................... .....

+ info

после перемещения на две единицы вверх формула функции будет: ............................ .............

g (x) = 2x-4 + 3 = 2x-1

g (x) = -x + 4

+ информация

+ информация

функция f (x) = -x была перемещена на 4 единицы вверх

Читать сдвиг графика из формулы

функция f (x) = была перемещена на 1 единицу вниз

в конце +4 и это означает движение вверх на 4

будет -1 в конце, что означает сдвиг вниз 1

Как бы вы оценили свои знания? - самооценка

Мне нужно потренироваться

Понимаю, но буду тренироваться

Я умею

Поздравляю! Ты идешь, как буря.Домашнее задание будет проще простого

Не расстраивайтесь! Ошибки — это не неудача, это путь к успеху

Помните! Тренировка делает чемпиона. Вы тренируетесь, и у вас точно не будет никаких проблем.

Задание для самостоятельного выполнения на завтра

Набор заданий стр. 222, 223 задания 9.38, 9.40, 9.42, 9.43 ABC

3

2

1

2

ДЗИ КИ

№

.90,000 Погода в Лодзи - InfoMeteo.pl

Быстрое прохождение арктического фронта, ведущего арктический-морской воздух через Польшу с севера на юг страны, заняло всего 7 часов, это можно точно рассчитать, определив видимую на спутниковых фотографиях границу фронтовой облачности и внезапного прояснения. Вчера в утренние и полуденные часы были сильные дожди, толпы, снег с дождем, потом снег - это сопровождалось многочисленными выбросами, а их полоса на радиолокационных снимках выстраивалась в четкую, но узкую полосу, протянувшуюся от западной до у восточных границ Польши скорость фронта следует оценивать почти в 90 км/ч, а тепловой контраст был не очень высоким, порядка 3-4 градусов, но настолько упала температура всего за час.

Самым важным явлением были сильные порывы усиливающегося ветра, сопровождавшие сбросы и осадки, при порывах на Окенце было измерено 25,7 м/с (92 км/ч), иногда могло быть и больше. Причиной таких высоких скоростей ветра и быстрого прохождения фронта было сильное ответвление реактивного течения (СВ) над страной. На картах центра авиапрогнозирования в Лондоне (WAFC), доступных на сайте https://awiacja.imgw.pl ... можно было увидеть две оси JS, почти параллельные, выше на FL330, ниже на FL290, нижняя колеблется от FL170 до FL 400 (5100-12000 м).Скорость ветра по нижней оси вчера в 6.00 UTC над восточной Латвией и Беларусью достигла 140 узлов или 250 км/ч. Возрастающая скорость ветра в ЮС является существенной причиной сильных восходящих движений, образно говоря, ЮС «высасывает» воздух из нижних слоев тропосферы, что способствует быстрому углублению очага или активизации фронта и развитию конвекции.

Образцовое школьное пересечение зимнего арктического воздушного фронта (но морского происхождения, поэтому без сильного перепада температур) имело характерные черты - относительно узкую зону, 70-150 км, значительную скорость движения, а также то, что Арктический воздух, всегда более плотный от полярного (умеренной ширины) клином забивается под них, в результате чего на линии фронта появляются облака Cu cong.Типичных Кв с наковальней на такой линии не было, все очень быстро движется на юг, поэтому большую роль играет динамика, вызывающая выталкивание воздушных масс на переднюю линию, образование конвективных облаков с штормы и интенсивные дожди и шквал ударов. Сразу после прохождения фронта динамично приподнятый воздух быстро опускается и средняя облачность исчезает, и даже проясняется и восстанавливается инверсия - сначала фронтовая, а затем проседающая. Конечно, скорость ветра уменьшается и в прохладной массе появляются облака типа слоисто-кучевых.

Результатом сильных шквалов были многочисленные поломки ветвей или даже повал целых деревьев, блокирование дорог и обрывы линий электропередач среднего и низкого напряжения. Пострадали и здания. Вечером я услышал из СМИ, что 300 000 домохозяйств не имеют электричества. Снегопада и снегопада, а также перепада температур хватило, чтобы быстро покрыть проезжую часть и тротуары тонким слоем промерзшего снега, увеличивая скользкость.

Сразу после прохождения фронта давление стало возрастать и образовалась компенсирующая возвышенность, и линия залива также быстро сместилась на восток, теперь она протянута от Белого моря через Смоленск, Киев до Крыма, основной Холодный удар охватит восточную Латвию, Белоруссию, центральную и западную Украину и перейдет к Черному морю.После того, как пройдет этот холодный удар - хочу напомнить, что район источника - Северная Атлантика и Норвежское море, сегодня вечером сформируют у земли область повышенного давления с максимумом над страной, давление повысится почти до 1040 гПа с центром над Баварией, Чехией и Нижней Силезией. Скоро начнется падение давления и снятие стрелы высокого давления на ЮВ, потому что мы уже видим в прогнозах, в том числе и в нашей модели УМ, еще один приток холода, идущий в том же направлении и, возможно, с похожей динамикой.

На этот раз ось бухты войдет в польское побережье в ночь со среды на четверг, но схема фронта будет несколько иной - вход с СЗ (Западная Померания, около 2 часов ночи), выход на ЮВ (Подкарпатье, около 15 часов).Что касается достигнутой скорости ветра при шквалах, то прогнозы мягче, чем при вчерашнем настое стужи, посмотрим на следующих расчетах, важную роль будет играть наличие и интенсивность струйного течения. Вероятно, более медленный фронт (например, 60 км/ч) приведет к более длительным снегопадам, особенно на южных и центральных возвышенностях страны. Горы также получат необходимое количество снега к зимним каникулам.

Мачей Островский, 18 января 2022 г.; 07:40

Содержание синоптического комментария может содержать частные, независимые мнения синоптиков, в связи с чем они не отражают официальную позицию ICM UW.Любые вопросы и комментарии относительно обзорных комментариев следует направлять непосредственно их авторам. .

---

Смотрите также

• 
  Как проверить версию excel
• 
  Как успокоить глаза после компьютера
• 
  Как почистить компьютер через win r
• 
  Как пополнить вебмани с телефона
• 
  Что делать если пропадает вай фай на телефоне
• 
  Флешка на телефон
• 
  Печать на обеих сторонах бумаги
• 
  Ошибка экспорта в movavi
• 
  Почему вечером интернет плохо работает
• 
  Player avi android
• 
  Transcend не видит компьютер